“坐标系与参数方程”高考考查分析3篇

“坐标系与参数方程”高考考查分析3篇“坐标系与参数方程”高考考查分析　1专题22　坐标系与参数方程　【母题来源一】　】【2020年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos,sin下面是小编为大家整理的“坐标系与参数方程”高考考查分析3篇,供大家参考。

篇一：“坐标系与参数方程”高考考查分析

　坐标系与参数方程

　 【母题来源 一】

　】【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sinkkx ty t  (t 为参 数 ) ． 以 坐 标 原 点 为 极 点 ，x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线2C 的 极 坐 标 方 程 为4 cos 16 sin 3 0       ． （1）当 1 k  时，1C 是什么曲线？ （2）当 4 k  时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标． 【解析】当 k=1 时，1cos ,:sin ,x tCy t 消去参数 t 得2 21 x y   ，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为 1 的圆． （2）当 k=4 时，414cos ,:sin ,x tCy t  消去参数 t 得1C 的直角坐标方程为 1 x y   ． 2C 的直角坐标方程为 4 16 3 0 x y    ． 由1,4 16 3 0x yx y     解得1414xy ． 故1C 与2C 的公共点的直角坐标为1 1( , )4 4． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题. 】

　【母题来源二】【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； 2221141txttyt  ，2 cos 3 sin 11 0       

　 2 （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 【答案】（1）C 的直角坐标方程为221( 1)4yx x     ； l 的直角坐标方程为 2 3 11 0 x y    ；（2）

　7 ． 【解析】（1）因为2211 11tt  ，且 222 222 221 412 11y t txtt            ，所以C的直角坐标方程为221( 1)4yx x     ． l 的直角坐标方程为 2 3 11 0 x y    ． （2）由（1）可设C的参数方程为cos ,2sinxy （  为参数， π π     ）． C上的点到 l 的距离为π4cos 11|2cos 2 3sin 11| 37 7       ． 当2π3   时，π4cos 113    取得最小值7， 故C上的点到 l 距离的最小值为 7 ． 【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题． 【母题来源三】【2018 年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的方程为 | | 2 y k x   ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22 cos 3 0       ． （1）求2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程． 【答案】（1）2C 的直角坐标方程为2 2( 1) 4 x y    ；（2）1C 的方程为4| | 23y x    ． 【解析】（1）由 cos x    ， sin y    得2C 的直角坐标方程为2 2( 1) 4 x y    ． （2）由（1）知2C 是圆心为 ( 1,0) A  ，半径为 2 的圆． 由题设知，1C 是过点 (0,2) B 且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为1l ， y 轴左边的射线为2l ．由

　 3 于 B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点． 当1l 与2C 只有一个公共点时， A 到1l 所在直线的距离为 2 ， 所以2| 2|21kk ，故43k   或 0 k  ． 经检验，当 0 k  时，1l 与2C 没有公共点； 当43k   时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． 当2l 与2C 只有一个公共点时， A 到2l 所在直线的距离为 2 ，所以2| 2|21kk，故 0 k  或43k  ． 经检验，当 0 k  时，1l 与2C 没有公共点；当43k  时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4| | 23y x    ． 【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，结合图形，将曲线相交的交点个数问题转化为直线与圆的位置关系问题，从而求得结果. 【母题来源 四】

　】【2017 年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为3cos ,sin ,xy （θ为参数），直线 l 的参数方程为4 ,1 ,（x a tty t   为参数）. （1）若 1   a ，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17 ，求 a ． 【答案】（1）

　(3,0) ，21 24( , )25 25 ；（2）

　8 a 或 16 a ． 【解析】（1）曲线 C 的普通方程为2219xy   ． 当 1 a 时，直线 l 的普通方程为 4 3 0 x y    ．

　 4 由224 3 0,19x yxy    解得3,0xy 或21,2524.25xy   从而 C 与 l 的交点坐标为 (3,0) ，21 24( , )25 25 ． （2）直线 l 的普通方程为 4 4 0 x y a     ， 故 C 上的点 (3cos ,sin )   到 l 的距离为|3cos 4sin 4|17ad     ． 当 4 a 时， d 的最大值为917a ． 由题设得91717a ，所以 8 a ； 当 4 a 时， d 的最大值为117a  ． 由题设得11717a   ，所以 16 a ． 综上， 8 a 或 16 a ． 【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性可求得参数 a 的值．

　【命题意图】

　1.掌握极坐标与直角坐标之间的转化公式，能利用极坐标的几何意义解题． 2.理解参数方程中参数的几何意义并灵活应用几何意义进行解题. 【命题规律】

　高考中以解答题的形式考查参数方程、极坐标方程相关的互化与计算，难度不大，熟练应用互化公式、理解参数的几何意义即可顺利解决. 【答题模板】

　 5 解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路为：

　第一步，先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程； 第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题. 另外，当直线经过点 P(x 0 ,y 0 ) ，且直线的倾斜角为 α，求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时，可以把直线的参数方程设成00cossinx x ty y t   (t 为参数)，交点 A，B 对应的参数分别为 t 1 ，t 2 ，计算时，把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出 t 1 +t 2 ，t 1 ·t 2 ，得到|AB|=|t 1 -t 2 |=  1 2 1 242t t t t    . 【方法总结】

　1．参数方程化为普通方程 基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等，其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧. 2．普通方程化为参数方程 曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定 x,y的值.一般地，与旋转有关的问题，常采用旋转角作为参数;与直线有关的问题，常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数.此外，也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数. 3．极坐标方程与直角坐标方程互化 进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ 2 ＝x 2 ＋y 2 ，tanθ＝yx(x≠0)． 4．参数方程与极坐标方程互化 进行参数方程与极坐标方程互化的关键是可先将参数方程（或极坐标方程）化为普通方程（或直角坐标方程），再转化为极坐标方程（或参数方程）. 5．几种常见曲线的参数方程 （1）圆 以 O′（a，b）为圆心，r 为半径的圆的参数方程是cossinx a ry b r   ，其中 α 是参数． 当圆心在（0，0）时，方程为cossinx ry r ，其中 α 是参数． （2）椭圆

　 6 椭圆2 22 21( 0)x ya ba b    的参数方程是cossinx ay b ，其中 φ 是参数． 椭圆2 22 21( 0)x ya bb a    的参数方程是cossinx by a ，其中 φ 是参数． （3）直线 经过点 P 0 （x 0 ，y 0 ），倾斜角为 α 的直线的参数方程是00cossinx x ty y t   ，其中 t 是参数．

　1．（陕西省商洛市洛南中学 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟数学试题）在直角坐标系 xOy 中，曲线M 的参数方程为1 3cos ,1 3sinxy   （  为参数），在以坐标为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 2 cos4m     . （1）求曲线 M 的普通方程，并指出曲线 M 是什么曲线； （2）若直线 l 与曲线 M 相交于 , A B 两点， AB 4  ，求 m 的值. 【答案】(1) 曲线 M 的轨迹是以   1,1 为圆心，3 为半径的圆. (2) 10 m  

　【解析】

　【分析】

　（1）由曲线的参数方程，消去参数，即可得到曲线的普通方程，得出结论； （2）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再由点到直线的距离公式，列出方程，即可求解． 【详解】

　（1）由1 3 ,1 3x cosy sin   （  为参数），消去参数得    2 21 1 9 x y     ， 故曲线 M 的普通方程为    2 21 1 9 x y     . 曲线 M 的轨迹是以   1,1 为圆心，3 为半径的圆.

　 7 （2）由 2 cos4m     ，展开得 cos sin 0 m        ， l  的直角坐标方程为0 x y m    . 则圆心到直线 l 的距离为2m， 则22 23 22m     ，解得 10 m   . 【点睛】

　本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用， 重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 2．（吉林省通化市梅河口五中 2020 届高三数学五模试题）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为3cos3 3sinxy  （  为参数）.以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）直线 l 的极坐标方程是 2 sin 4 36     ，射线1 1:6 3OM        与圆C的交点为O，P，与直线 l 的交点为 Q，求 OPOQ 的范围. 【答案】（1）

　6sin    ；（2）

　12 18 OP OQ    . 【解析】

　【分析】

　（1）先消去参数得普通方程，然后由cossinxy   可化为极坐标方程； （2）把1   代入圆与直线的极坐标方程得 , P Q 点的极径即 OP ， OQ ，计算 OP OQ ，结合正切函数性质可得结论． 【详解】

　（1）圆 C 的普通方程是  223 9 x y    ，即2 26 0 x y y    ，因为2 2 2x y    ， sin y    ，所以

　 8 圆 C 的极坐标方程为 6sin    . （2）由题意知，设  1 1, P   ，则有1 16sin    . 设  2 1, Q   ，且直线 l 的极坐标方程是 3sin cos 4 3      ， 则有4 33sin cos ， 即21 14 33sin cos . 所以11 21 1124 3sin 24 313sin cos3tanOP OQ      ， 因为16 3    ，13tan 33   ，所以 1218 OP OQ    . 【点睛】

　本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标的应用．注意极径的绝对值就是对应点到极点（原点）的距离，因此问题只涉及点到原点距离时可考虑用极坐标方程求解． 3．（四川省绵阳市江油中学 2020-2021 学年高三 8 月第二次考试数学试题）已知在极坐标系中曲线 C 的极坐标方程为2 02326sin        ， ＜ ，，． （1）求曲线 C 与极轴所在直线围成图形的面积； （2）设曲线 C 与曲线 ρsinθ＝1 交于 A，B，求|AB|． 【答案】（1）

　2 3   ；（2）2 3 ． 【解析】

　【分析】

　（1）直接利用转换关系，将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，得到曲线 C 与极轴所在直线围成的图形是一个半径为 2 的14圆周及一个两直角边分别为 2 与 23 的直角三角形，即可求得面积.

　 9 （2）联立方程组，分别求出 A 和 B 的坐标，再利用两点间的距离公式求出结果． 【详解】

　（1）因为曲线 C 的极坐标方程为2 02326sin        ， ＜ ，，， 所以当 0 2 x  

　时，2 24 x y   ， 当2 3 0 x    时，x 3 2 3 0 y    ， 所以曲线 C 与极轴所在直线围成的图形是一个半径为 2 的14圆周及一个两直角边分别为 2 与 23 的直角三角形， 如图所示：

　所以 2 3 S    ． （2）因为曲线 C 与曲线 ρsinθ＝1 交于 A，B， 由21 sin  ，得 A（2，6），转换为直角坐标为 A（ 31 ， ）． 极坐标方程 ρsinθ＝1 转换为直角坐标方程为 y＝1， 极坐标方程36sin   转换为直角坐标方程为 x 3 2 3 0 y    ， 所以 B（ 31  ， ）， 所以|AB|＝   3 3 2 3    ．

　 10 【点睛】

　本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程以及联立方程组求交点坐标，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 4．（重庆市第一中学 2020 届高三下学期 5 月月考数学试题）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为1 cos1 sinxy   （φ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是  2 21 sin 2     . （1）求曲线1C 的极坐标方程； （2）射线 OA ：π(0 )2      与曲线1C 交于两点 A，B，并与曲线2C 交于点 C，求| | | || |OA OBOC的取值范围. 【答案】（1）

　 22 cos sin 1 0         ；（2）2,12    . 【解析】

　【分析】

　(1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(2）利用极径的应用和三角函数关系式的变换求出函数的值域. 【详解】

　（1）因为曲线1C 的参数方程为1 cos1 sinxy   （φ 为参数）， 所以曲线1C 的直角坐标方程为   2 21 1 1 x y     ， 曲线1C 的极坐标方程  22 cos sin 1 0         ， （2）由22(cos sin ) 1 0        得22(cos sin ) 1 0        

　所以 1A BOA OB       ， 由2 21 sin ) 2    （得221 sinCOC  

　 11 又因为π02  

　所以21 sin 2,12 2OA OBOC     . 【点睛】

　本题主要考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 5． （2020 届河北省衡水中学高三卫冕联考数学试题）在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为cossinxy (  为参数)，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2 cos 14     . （1）写出曲线 C 的极坐标方程及直线 l 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 的交点分别为 A ， B ，点 P (异于 A ， B 两点)在曲线 C 上运动，求PAB △面积的最大值. 【答案】（1）曲线 C 的极坐标方程为 1   ，直线 l 的直角坐标方程为 1 0 x y    ；（2）

　122+. 【解析】

　【分析】

　（1）先将曲线 C 的参数方程化为普通方程，然后转化为极坐标方程；利用极坐标方程和直角坐标方程转化公式，求得直线 l 的直角坐标方程. （2）先求得 AB ，然后根据圆的几何性质求得 P 到直线 AB 的距离...

篇二：“坐标系与参数方程”高考考查分析

　：

　《坐标 系与 参数方程》 口 晏 良江 一、 了解坐 标 系的有关 概念 1．极 坐 标 系与 点 的极 坐标 【定义】：苏教版选修 4—4 课本 P 【注】：极坐标系下的点与它的极 坐标 的对 应情 况① 给定有序实数对( p， ) ，在极 坐标 平面 内有唯 一确定 的 点 M ；②给定极 坐标平 面内 的一点 M．，有 无数 个极 坐 标与之对应 ；③如果 限定 ． 0> 0 ，0 ≤ < 2n，那 么除 去极 点外 ，平 面上 的点就 与极坐标 (ID，

　) ( 1D≠ O) 一一对应 ；④ 一般地 ，若 (I。，口)是某点的极坐标 ，则 (P， + 2kn) ，(- - p，0 + ( 2k+ 1) 7r) ，k ∈Z 都可以作为该点 的极 坐标． 【约定】：极 点的极 坐标 中 ，极径 fD一0，极 角 0 可取任 意值．

　二、掌握 简 单图形 的极坐 标方 程 1．直 线 ① 经过点 A ( ，O)且与极轴垂直的直线 t OCOS#= a ②经过点A(n，要)且与极轴平行的直线psin0= a ③经 过 A (p ，0 ) 点 ，且倾 斜角为 a 的直线 psin( 0- - a ) = pl sin (01 - - a ) 2．圆 ① 圆心在 A (a ，O) 且过极点 的圆 p一2acos0 ②圆心在 A (a ， ) 且 过极 点的圆 p= 2asin0 ③圆心在 A (po，0o) ，半径为 r 的圆P。一2popcos( O- - 0o) + 一r 一0 3．圆锥 曲线的统一的极坐标方程 lD—T二 ep O< g< 1 椭圆 e一1 抛物线 > 1 双曲线 三、掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化 【互化 的前提 条件】：① 极点 与直角 坐标 系的原 点 重合 ；② 极轴与 z 轴 正方 向重合 ；③ 两种 坐标 系取 相 同的单位长度 ．

　【互化公式】：设点 M 的直角坐标 为 (z ， ) ，它 的极 坐标为( p， ) ，则

　数) 抛物y2=2px 参数方程为f x一 = 2户 p t2(t为参 注意 ：参数 方程 与普通 方程 互化 时 ，要 注意 变量 的 范围有无 变化．

　六 、掌握 参数 方程与 普通 方程 的互化 1．消去参数方程 中的参数 就得 到普通方程 ，但要注 意到普通方程 中变量 z ， 的取 值范 围应与参数 方程 中 相应 的取值范 围一致．消去参数 的具体方法要根据参数 方程 的特点来考虑．

　消参方法 ：①代 人 消去 法 由其 中一式 解 出 t，代 人另一式．②加 减消去法 由两式加减 (平方加或减) 或 乘除消去参数．③ 换元 法 通过 代数 或 三角 换元 消 去 参数． 2．普通方程化为参数方程 ，要恰 当地选择参数 t 和 函数 z 一，( ) ，并且使 -z 一，( ) 的值域 与普通方 程 中变 量 z 的范围一致 ，然后 将 -z 一_厂( ) ，代人普 通方 程 中解 出 —g(￡)，即得参数方程 一。

　，：

　普通方程化为参 IY — g L￡J ：34一- -￡2 ( ￡为参数 ) 平行 的直 线的普通 方程． 饵析：椭圆的普通方程为丢+等一1，右焦点为(4，

　。)，直线]1x 一=34一- -

　2 (f 为参数 ) 的普通方 程为 2y - - x = 2，斜率为÷；所求直线方程为：

　一 1(z一4)，即z一2 — —4 — 0 例 5 直线 z的极坐标方程为． Dsin(O+ 4 ) = 4-- -~，求 点 A (4 ， ) 到 直线 ￡的距离．

　解 ：在以极点为坐标原 点 ，极 轴为 z 轴 正半轴 的直 角坐标 系中 ，A ( 4， ) 的 直角 坐标 为 A ( 4c。s ，4si“ )=o角 坐效 万 ’ 一

　⋯ ． ⋯ ， 一 ⋯

　唧 二 uu 巴 u叫缓 甘 爹 姒月任 ／ r 厂 】

　l 刮 一 ，+ 黼 、 、 曲他 曲 盐 ：

　( 4，0 C ，( ￡为 参 数 ，f> )．求 曲线 的普 通 ¨ ’l 一3。+÷) 方程． 4~-s解：因为z 一 +÷ 一2，所以z +2一tq 1 ￡一一专， 故曲线C 的普通方程为：3zz- - y+6—0． 立平七、参数方程的简单应用 例 3 (江苏 2OO8)在平面直角坐标系 z Oy 中，点 P ( 为(． z， )是椭圆等+ z一1上的一个动点，求s—z+ 3，的 最 大值 ．

　为直：因I v 一 X 2 月 任参 数 程( 为参数)故可设动点P的坐标为( c0 ，sin9) ，其中 0≤ < 2 7c．

　曲线因此s—z+y=q~cosT+sin9—2( c。s +÷ 线zsin9)一2sin( +号)所以，当 一 时，s 取最大值2．

　一 八、知识综合应用 例 4 (江苏 2Ol 1) 在平 面直 角坐 标 系 xOy 中，求 ， = ：

　P n q m

　过椭圆r ：

　( 为参数) 的右焦点且与直线 l — s1r1 z r ● ● ， 、 ， I

篇三：“坐标系与参数方程”高考考查分析

　坐标系与参数方程

　1．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 2cos    ． （1）将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点 A 的直角坐标为   1,0 ，M 为 C 上的动点，点 P 满足 2 AP AM  ，写出 Р 的轨迹1C 的参数方程，并判断 C 与1C 是否有公共点． 【试题来源】2021 年全国高考甲卷（理）

　【答案】（1）

　222 2 x y    ；（2）P 的轨迹1C 的参数方程为3 2 2cos2sinxy    （  为参数），C 与1C 没有公共点． 【分析】

　（1）将曲线 C 的极坐标方程化为22 2 cos     ，将 cos , sin x y       代入可得； （2）设   , P x y ，设  2 2cos , 2sin M   ，根据向量关系即可求得 P 的轨迹1C 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得． 【解析】（1）由曲线 C 的极坐标方程 2 2cos    可得22 2 cos     ， 将 cos , sin x y       代入可得2 22 2 x y x   ，即 222 2 x y    ， 即曲线 C 的直角坐标方程为 222 2 x y    ； （2）设   , P x y ，设  2 2cos , 2sin M   ， 2 AP AM  ，      1, 2 2 2cos 1, 2sin 2 2cos 2,2sin x y             ， 则1 2 2cos 22sinxy     ，即3 2 2cos2sinxy    ， 故 P 的轨迹1C 的参数方程为3 2 2cos2sinxy    （  为参数）

　曲线 C 的圆心为  2,0 ，半径为2 ，曲线 1C 的圆心为 3 2,0 ，半径为 2， 则圆心距为 3 2 2  ， 3 2 2 2 2    ，  两圆内含，

　故曲线 C 与1C 没有公共点． 【名师点睛】本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出 M 的参数坐标，利用向量关系求解．

　1．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）

　在直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sinkkx ty t  (t 为参数 ) ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为 4 cos 16 sin 3 0        ． （1）当 1 k  时，1C 是什么曲线？ （2）当 4 k  时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标． 【解析】（1）当 k=1 时，1cos ,:sin ,x tCy t 消去参数 t 得2 21 x y   ，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为 1 的圆． （2）当 k=4 时，414cos ,:sin ,x tCy t  消去参数 t 得1C 的直角坐标方程为 1 x y   ． 2C 的直角坐标方程为 4 16 3 0 x y    ． 由1,4 16 3 0x yx y     解得1414xy ． 故1C 与2C 的公共点的直角坐标为1 1( , )4 4． 2．【2020 年高考全国 II 卷理数】[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）

　已知曲线 C 1 ，C 2 的参数方程分别为 C 1 ：224cos4sinxy  ，（θ 为参数），C 2 ：1 ,1x tty tt   （t 为参数）． （1）将 C 1 ，C 2 的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设 C 1 ，C 2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程． 【解析】（1）1C 的普通方程为 4(0 4) x y x     ．

　由2C 的参数方程得2 2212 x tt   ，2 2212 y tt   ，所以2 24 x y   ． 故2C 的普通方程为2 24 x y   ． （2）由2 24,4x yx y   得5,23,2xy 所以 P 的直角坐标为5 3( , )2 2． 设所求圆的圆心的直角坐标为0( ,0) x ，由题意得2 20 05 9( )2 4x x    ， 解得01710x  ． 因此，所求圆的极坐标方程为17cos5   ． 3．【2020 年高考全国 III 卷理数】[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）

　在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为2222 3x t ty t t      （t 为参数且 t≠1），C 与坐标轴交于 A、B两点． （1）求 | | AB ； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程． 【解析】（1）因为 t≠1，由22 0 t t    得 2 t  ，所以 C 与 y 轴的交点为（0，12）； 由22 3 0 t t    得 t=2，所以 C 与 x 轴的交点为 ( 4,0)．故 | | 4 10 AB  ． （2）由（1）可知，直线 AB 的直角坐标方程为 14 12x y ，将cos sin x y       ，代入， 得直线 AB 的极坐标方程 3 cossin 12 0       ． 4．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）．以坐 标 原 点 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 【答案】（1）221( 1)4yx x     ； l 的直角坐标方程为 2 3 11 0 x y    ；（2）

　7 ． 2221141txttyt  ，2 cos 3 sin 11 0       

　【解析】（1）因为2211 11tt  ，且 222 222 221 412 11y t txtt            ，所以C的直角坐标方程为221( 1)4yx x     ． l 的直角坐标方程为 2 3 11 0 x y    ． （2）由（1）可设C的参数方程为cos ,2sinxy （  为参数， π π     ）． C上的点到 l 的距离为π4cos 11|2cos 2 3sin 11| 37 7       ． 当2π3   时，π4cos 113    取得最小值7，故C上的点到 l 距离的最小值为 7 ． 【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题． 5．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点0 0 0( , )( 0) M     在曲线 : 4sin C    上，直线 l 过点 (4,0) A 且与 OM 垂直，垂足为 P． （1）当0 =3时，求0 及 l 的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）02 3   ，l 的极坐标方程为cos 23      ； （2）

　4cos , ,4 2       ． 【解析】（1）因为  0 0, M   在C上，当03 时，04sin 2 33  ． 由已知得 | | | |cos 23OP OA  ． 设 ( , ) Q   为l上除P的任意一点．在 Rt OPQ △ 中， cos | | 23OP        ，

　经检验，点 (2, )3P在曲线 cos 23      上． 所以，l的极坐标方程为 cos 23      ． （2）设 ( , ) P   ，在 Rt OAP △ 中， | | | |cos 4cos , OP OA    

　即

　4cos    ． 因为P在线段OM上，且 AP OM  ，故  的取值范围是 ,4 2     ． 所以，P点轨迹的极坐标方程为 4cos , ,4 2       ． 【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型． 6．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系 Ox 中， (2,0) A ， ( 2, )4B， ( 2, )4C， (2, ) D  ，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是 (1,0) ， (1, )2， (1, )  ，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧 CD ． （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程； （2）曲线 M 由1M ，2M ，3M 构成，若点 P 在 M 上，且 || 3 OP  ，求 P 的极坐标．

　【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04       ，2M 的极坐标方程为π 3π2sin4 4       ，3M 的极坐标方程为3π2cos π4        ． （2）π3,6   或π3,3   或2π3,3   或5π3,6   ． 【解析】（1）由题设可得，弧 , , AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为 2cos    ， 2sin    ，2cos     ．

　所以1M 的极坐标方程为π2cos 04       ，2M 的极坐标方程为π 3π2sin4 4       ，3M的极坐标方程为3π2cos π4        ． （2）设 ( , ) P   ，由题设及（1）知 若π04   ，则 2cos 3   ，解得π6  ； 若π 3π4 4   ，则 2sin 3   ，解得π3  或2π3  ； 若3ππ4   ，则 2cos 3    ，解得5π6  ． 综上，P的极坐标为π3,6   或π3,3   或2π3,3   或5π3,6   ． 【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．

　1．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：

　 x′＝λ·x（λ&gt;0）y′＝μ·y（μ&gt;0）

　的作用下，点 P(x，y)对应到点(λx，μy)，称 φ 为坐标系中的伸缩变换． 2．极坐标和直角坐标的互化 （1）进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ 2 ＝x 2 ＋y 2 ，tanθ＝yx (x≠0)． （2）进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意 ρ，θ 的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧． 3．参数方程与普通方程的互化 （1）将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数． （2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中 x 及 y的取值范围的影响． 4．直线的参数方程 若直线过(x 0 ，y 0 )，α 为直线的倾斜角，则直线的参数方程为(t 为参数)．这是直线的参数方程，其中参数 t 有明显的几何意义．

　5．圆的参数方程 若圆心在点 M 0 (x 0 ，y 0 )，半径为 R，则圆的参数方程为 0≤θ≤2π． 6．椭圆的参数方程 若椭圆的中心不在原点，而在点 M 0 (x 0 ，y 0 )，相应的椭圆参数方程为 0≤t≤2π． 7．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路为：

　第一步，先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程； 第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题． 另外，当直线经过点 P(x 0 ，y 0 )，且直线的倾斜角为 α，求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时，可以把直线的参数方程设成 (t 为参数)，交点 A ， B 对应的参数分别为 t 1 ，t 2 ，计算时 ， 把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出 t 1 +t 2 ，t 1 ·t 2 ，得到|AB|=|t 1 -t 2 |= ．

　1．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为cos ( 0) a a    ， Q 为 l 上一点，以 OQ 为边作等边三角形 OPQ ，且 O ， P ， Q 三点按逆时针方向排列． （1）当点 Q 在 l 上运动时，求点 P 运动轨迹的直角坐标方程； （2）若曲线22: 14xC y   ，经过伸缩变换 2xxy y得到曲线C，若 P 的轨迹与曲线C有交点，试求 a 的取值范围． 【试题来源】江西省南昌市第三中学 2021 届高三下学期第八次月考试（理）

　【答案】（1）

　3 2 0 x y a    ；（2）

　[ 1,1]． 【分析】（1）用极坐标求得 P 点轨迹方程，再化为直角坐标方程，设( , ) P   ，则 ( , )3Q   ， Q 点极坐标代入直线 l 的极坐标方程，然后由cossinxy   转化； （2）求出曲线C的方程，然后由直线与圆有公共点可得参数范围． 【解析】（1）设( , ) P   ，则 ( , )3Q   ，又 P 在直线 l 上，所以 cos( )3a    ， cos cos sin sin3 3a       ，由cossinxy   得1 302 2x y a   

　所以 P 点轨迹方程为 3 2 0 x y a    ；

　（2）由 2xxy y得2 x xy y ，又2214xy   ，所以22(2 )( ) 14xy   ，即2 21 x y     ， 所以曲线C的方程是2 21 x y   ， 由2 2211 ( 3)ad 得 1 1 a    ． 所以 a 的取值范围是 [ 1,1]． 2．以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为22 cos 3 0       ，直线 l 的极坐标方程为πsin 24     ． （1）求曲线 C ､直线 l 的直角坐标方程； （2）若直线l过点   2,1 M  且与直线 l 平行，直线l交曲线 C 于 A ， B 两点，求 MAMB 的值． 【试题来源】陕西省渭南市富平县 2021 届高三下学期二模（理）

　【答案】（1）曲线 C 的直角坐标方程为  221 4 x y    ，直线 l 的直角坐标方程为 2 0 x y    ，（2）

　2 ． 【分析】（1）将cos x   ，sin y   ，2 2 2x y    代入极坐标方程即可得直角坐标方程； （2）设出直线l的参数方程的标准形式，代入曲线 C 的直角坐标方程可得关于 t 的一元二次方程，计算1 2MA MB tt   的值即可求解． 【解析】（1）因为2 2 2x y    ， cos x    ， sin y    ， 所以由22 cos 3 0       可得2 22 3 0 x y x     ， 所以曲线 C 的直角坐标方程为  221 4 x y    ， 由πsin 24     可得π πsin cos cos sin 24 4      ， 即sin cos 2      ，所以直线 l 的直角坐标方程为2 0 x y   ， （2）直线 l 的的斜率为 1  ，所以倾斜角为3π4， 所以过点   2,1 M  且与直线 l 平行的直线l的方程为222212x ty t   （ t 为参数）， 代入  221 4 x y    可得2 22 21 1 42 2t t                ， 整理可得22 2 2 0 t t   ，

　所以1 2221MA MB t t   ， 所以 MAMB 的值为 2 ． 3．以原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知倾角为  的直线 l 的极坐标方程为    sin sin 0           ，圆 C 的参数方程为1 2cos2 2sinxy   （  是参数）． （1）求直线 l 的普通方程； （2）若直线 l 与圆 C 相交于 M 、 N 两点，且 2 2 MN  ，求  的值． 【试题来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学 2021 届高三下学期 4 月（文）调研试题 【答案】（1）

　sincos sin 0 x y      ；（2）4  或34  ． 【分析】

　（1）利用两角差的正弦公式结合极坐标与直角坐标之间的转换关系可将直线 l 的方程化为普通方程； （2）由圆的参数方程可得出圆心 C 的坐标与圆的半径，求出弦心距，利用勾股定理可求得 cos  的值，结合  的取值范围可求得  的值． 【解析】（1）由sin( ) sin       得sin cos cos sin sin          ， 故直线 l 的普通方程为 sincos sin 0 x y      ； （2）由圆 C 的参数方程知，圆心   1,2 C ，半径 2 r = ， 弦心距2 2sin 2cos sin2 cossin cosd     ， 由勾股定理得22 22MNd r    ，即22 4cos 4    ，可得2cos2   ， 因为 0 π    ，因此，4  或34  ． 4．在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的圆心的极坐标为2,4C    ，半径 3 r  ． （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）已知过点   0,1 P 且倾斜角为  的直线 l 交圆 C 于 A， B 两点，且 11 PA PB   ，求角  ． 【试题来源】云南省曲靖市 2021 届高三二模（文）

　【答案】（1）22 cos 2 sin 1 0          ；（2）6  或56  ．

　【分析】（1）先求得圆 C 的直角坐标方程，将cossinxy   代入方程，化简整理，即可得答案． （2）先求得直线 l 的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，可得关于 t 的一元二次方程，进而可得 12t t ， 1 2t t的表达式，根据 t 的几何意义，结合题意，化简计算，即可求得 cos  的值，结合角  的范围，即可得答案． 【解析】解（1）：圆心2,4C    的直角坐标坐标为   1,1 C ，圆 C 的半径 3 r  ， 则 C 的直角坐标方程为    2 21 1 3 x y     ． 将公式cossinxy   代入    2 21 1 3 x y     中 整理得圆 C 的极坐标方程：22 cos 2 sin 1 0          ． （2）过点   0,1 P 且倾斜角为  的直线 l 的参数方程为cos ,1 sinx ty t  （ t 是参...

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