概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确（完整文档）

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　概念、 性质、 定理、 公式必须清楚， 解法必须熟练， 计算必须准确 ( )r A,nTAnAAAxxAxAAxA AAE    总有唯一解

　 可逆

　 的列（行）

　向量线性无关

　的特征值全不为0

　 只有零解 ， 0是正定矩阵

　 R12,siAp pppnBABEABE

　是初等阵存在 阶矩阵使得 或

　○注：

　全体n 维实向量构成的集合nR 叫做n 维向量空间.

　( )r AAnAAAAxA不可逆

　 0的列（行）

　向量线性相关

　 0是 的特征值

　 有非零解, 其基础解系即为 关于0的特征向量 ○注 ()()abr aEbAnaEbAaEbA x

　有非零解=-

　  )具有向量组等价矩阵等价()反身性、 对称性、 传递性矩阵相似(矩阵合同() √

　关于12,,,ne ee：

　①称为n 的标准基，n 中的自然基， 单位坐标向量87p教材；

　②12,,,ne ee线性无关；

　③12,,,1ne ee ；

　④ tr =E n ；

　⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,ne ee线性表示.

　行列式的定义 1 2j j121 2j j1112121222()1212()nnnnnjnjjnjjnnnnaaaaaaDa aaaaa1 √

　行列式的计算：

　①行列式按行（列）

　展开定理：

　行列式等于它的任一行（列）

　的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.

　推论：

　行列式某一行（列）

　的元素与另一行（列）

　的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

　②若 AB与都是方阵（不必同阶）

　, 则==()mnAOAAOA BOBOBBOAAA BBOBO 1（拉普拉斯展开式）

　③上三角、 下三角、 主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

　④关于副对角线：(1)211212112111()n nnnnnnnnnnaOaaaa aaaOaO 1 （即：

　所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积的代数和）

　⑤范德蒙德行列式：1221222n111112nijj i n  nnnnxxxxxxxxxxx111 矩阵的定义 由 m n个数排成的 m 行n 列的表111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa称为 m n矩阵. 记作： ijm nAa或m nA 伴随矩阵 1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAA，ij A 为 A 中各个元素的代数余子式.

　√

　逆矩阵的求法:

　① 1AAA

　 ○注：

　1abdbcdcaadbc1

　主换位副变号

　②1()()A EE A 初等行变换 ③12311a11213aaaaa 

　 321111121a3aaaaa √

　方阵的幂的性质：mnm nA AA

　 ()( )Am nmnA √

　设,,m nn sABA 的列向量为12,,,n , B 的列向量为12,,,s ，

　则m sABC 1112121222121212,,,,,,ssnsnnnsbbbbbbc ccbbb iiA c ，(,, )si1, 2i  为iAxc的解   121212,,,,,,,,,sssAAAAc cc12,,,sc cc可由12,,,n 线性表示. 即：

　C 的列向量能由 A 的列向量线性表示， B 为系数矩阵.

　同理：

　C 的行向量能由 B 的行向量线性表示，TA 为系数矩阵.

　即：

　1112111212222212nnnnmnnmaaacaaacaaac11112212121122222211222nnmmmnmaaacaaacaaac √

　用对角矩阵○左 乘一个矩阵, 相当于用  的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行 向量；

　用对角矩阵○右 乘一个矩阵, 相当于用  的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列 向量.

　√

　两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

　√

　分块矩阵的转置矩阵：TTTTTABACCDBD 分块矩阵的逆矩阵：111AABB

　 111ABBA 1111ACAA CBOBOB

　1111AOAOCBB CAB 分块对角阵相乘：11112222,ABABAB11112222A BABA B,1122nnnAAA

　分块对角阵的伴随矩阵：***ABABAB

　 *( 1)( 1)mnmnAA BBB A √

　矩阵方程的解法(0A ) ：

　设法化成AXBXAB(I)

　或

　(II)

　 A BE X 初等行变换(I) 的解法：

　构造()()

　 TTTTA XBXX(II) 的解法：

　将等式两边转置化为，

　用(I) 的方法求出， 再转置得 ① 零向量是任何向量的线性组合, 零向量与任何同维实向量正交.

　② 单个零向量线性相关； 单个非零向量线性无关.

　③ 部分相关, 整体必相关； 整体无关, 部分必无关.

　（向量个数变动）

　④ 原向量组无关, 接长向量组无关； 接长向量组相关, 原向量组相关.

　（向量维数变动）

　⑤ 两个向量线性相关 对应元素成比例； 两两正交的非零向量组线性无关114p教材.

　⑥ 向量组12,,,n 中任一向量i  (1 ≤ i ≤ ) n 都是此向量组的线性组合.

　⑦ 向量组12,,,n 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余n 1 个向量线性表示.

　向量组12,,,n 线性无关 向量组中每一个向量i  都不能由其余n 1 个向量线性表示.

　⑧ m 维列向量组12,,,n 线性相关( )r An；

　 m 维列向量组12,,,n 线性无关( )r An.

　⑨ 若12,,,n 线性无关， 而12,,, ,n 线性相关, 则  可由12,,,n 线性表示, 且表示法唯一.

　⑩ 矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩.

　行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

　行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线， 线的下方全为0 ； 每个台阶只有一行， 台阶数即是非零行的行数， 阶梯线的竖线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为 1， 且这些非零元所在列的其他元素都是0 时， 称为行最简形矩阵 ⑪ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变列向量间的线性关系；

　 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变行向量间的线性关系.

　 即：

　矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.

　√

　矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：

　对 A 施行一次初等○行 变换得到的矩阵, 等于用相应的初等矩阵○左 乘 A ；

　对 A 施行一次初等○列 变换得到的矩阵, 等于用相应的初等矩阵○右 乘 A .

　矩阵的秩 如果矩阵 A 存在不为零的 r 阶子式， 且任意r1 阶子式均为零， 则称矩阵 A的秩为 r . 记作 ( )r Ar 向量组的秩 向量组12,,,n 的极大无关组所含向量的个数， 称为这个向量组的秩. 记作12(,,,)nr  

　矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为 B .

　 记作：

　AB  向量组等价 12,,,n 和12,,,n 可以相互线性表示.

　 记作：

　 1212,,,,,,nn   ⑫ 矩阵 A 与 B 等价 PAQB，, P Q 可逆 ( )( ), ,r B A B,r AA B为同型矩阵作为向量组等价, 即：

　秩相等的向量组不一定等价.

　矩阵 A 与 B 作为向量组等价1212( ,,,)( ,,,)nnrr1212(,,,,,,)nnr    

　矩阵 A 与 B 等价.

　⑬ 向量组12,,,s 可由向量组12,,,n 线性表示 AXB有解12(,,,)=nr  1212(,,,,,,)nsr    12(,,,)sr  ≤12(,,,)nr  .

　⑭ 向量组12,,,s 可由向量组12,,,n 线性表示, 且sn， 则12,,,s 线性相关.

　向量组12,,,s 线性无关, 且可由12,,,n 线性表示, 则 s ≤ n .

　⑮ 向量组12,,,s 可由向量组12,,,n 线性表示, 且12(,,,)sr  12(,,,)nr  , 则两向量组等价；p教材94, 例10 ⑯ 任一向量组和它的极大无关组等价. 向量组的任意两个极大无关组等价.

　⑰ 向量组的极大无关组不唯一， 但极大无关组所含向量个数唯一确定.

　⑱ 若两个线性无关的向量组等价, 则它们包含的向量个数相等.

　⑲ 设 A 是m n矩阵, 若 ( )r Am， A 的行向量线性无关；

　若 ( )r An， A 的列向量线性无关, 即：12,,,n 线性无关.

　√

　矩阵的秩的性质：

　①( )r AAO若≥ 1

　 ( )r A0AO若

　 0 ≤()m nr A≤ min( , )m n

　② ( )r A()()TTr Ar A A

　p教材101, 例15

　 ③ ()( )r Ar kAk

　 若0

　 ④( )r A( )r B,,()0m nn snABr ABBAx

　若若0的列向量全部是的解

　 ⑤ ()r AB ≤min( ), ( )r A r B ⑥()( )r B()( )r AAr ABBr AB若 可逆若 可逆

　 即：

　可逆矩阵不影响矩阵的秩.

　 ⑦若()( )r B()m nAxr ABr AnABOBOAABACBC 只有零解

　 在矩阵乘法中有左消去律；

　若(在矩阵乘法中有右消去律. )( )r B()n sr ABr BnB

　 ⑧( )r ArrEOEOrAAOOOO 若与唯一的等价， 称为矩阵 的等价标准型.

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