指数函数知识点总结（范文推荐）

下面是小编为大家整理的指数函数知识点总结（范文推荐）,供大家参考。

　指数函数 （一）

　指数与指数幂的运算 1． 根式的概念：

　一般地， 如果axn， 那么 x 叫做a 的 n 次方根， 其中 n >1， 且n ∈ N00 。

　(a*．

　负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0， 记作n当 n 是奇数时，aann， 当 n 是偶数时，) 0) 0(||aaaaann 2． 分数指数幂 正数的分数指数幂的意义， 规定：

　m) 1,,, 0(*mnNnmaaanmn) 1,,, 0(11*nNnmaaaanmnmn 0 的正分数指数幂等于 0， 0 的负分数指数幂没有意义 3． 实数指数幂的运算性质 ra·aa

　 (rssraa)(

　 (asrraaab)( （二）

　指数函数及其性质 （1）srr),, 0Rsra；

　（2）),, 0Rsr；

　（3）),, 0(Rsra．

　1、 指数函数的概念：

　一般地， 函数数， 其中 x 是自变量， 函数的定义域为 R．

　注意：

　指数函数的底数的取值范围， 底数不能是负数、 零和 1．

　2、 指数函数的图象和性质 a>1 ) 1, 0(aaayx且叫做指数函0<a<1 654321-1-4-224601654321-1-4-224601 定义域 R 值域 y＞0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函 数图 象都过定点（0， 1）

　定义域 R 值域 y＞0 在 R 上单调递减 非 奇 非 偶函数 函 数 图 象都 过 定 点（0， 1）

　 注意：

　利用函数的单调性， 结合图象还可以看出：

　) x ( f)]a ( f), 0x ， 则) x ( f ；) x ( f

　（1）

　在[a， b] 上，b ( f [) 1a0a (ax且值域是)]b ( f),a ( f [或（2）

　若1) x ( f取遍所有正数当且仅当Rx a；

　（3）

　对于指数函数) 1a0a (ax且， 总有) 1 ( f；

　指数函数· 例题解析

　【例 1】

　求下列函数的定义域与值域：

　1(1)y3(2)y(3)y2 x＝＝＝213321xx

　 解

　(1) 定义域为 x∈R 且 x≠2． 值域 y＞0 且 y≠1．

　(2) 由 2x+2－1≥0， 得定义域{x| x≥－2} ， 值域为 y≥0．

　(3) 由 3－3x-1≥0， 得定义域是{x| x≤2} ， ∵0≤3－3x－1＜3，

　∴值域是 ≤ ＜．0y3 练习：（1）412xy；

　 （2）| |x2( )3y ；

　 （3）1241xxy；

　 【例 2】

　指数函数 y＝ax， y＝bx， y＝cx， y＝dx的图像如图 2． 6－2 所示，则 a、 b、 c、 d、 1 之间的大小关系是 [

　] A． a＜b＜1＜c＜d

　B． a＜b＜1＜d＜c C．

　b＜a＜1＜d＜c

　D． c＜d＜1＜a＜b 解

　选(c) ， 在 x 轴上任取一点(x， 0) ，

　则得 b＜a＜1＜d＜c．

　练习：

　指数函数①(

　 ) .

　 ② 满足不等式 , 则它们的图象是

　【例 3】

　比较大小：

　(1) 2(2)0.6、、、、的大小关系是：．248163235894512( ) (3) 4. 54. 1________3. 73. 6 解 (1)y221()x∵，，，，，函数 ＝1，＞ ， 该函数在 －∞， ＋∞ 上是增函数，4128又＜＜＜＜， ∴＜＜＜＜．2222428216233825924162123135258389493859 解

　(2)0.6110.6∵＞ ，＞，∴＞．451245123232( )( ) 解

　(3) 借助数 4. 53. 6打桥， 利用指数函数的单调性， 4. 54. 1＞4. 53. 6， 作函数 y1＝4. 5x， y2＝3. 7x的图像如图 2． 6－3， 取 x＝3. 6， 得 4. 53. 6＞3. 73. 6 ∴ 4. 54. 1＞3. 73. 6．

　 说明

　如何比较两个幂的大小：

　若不同底先化为同底的幂， 再利用指数函数的单调性进行比较， 如例 2 中的(1) ． 若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时， 有两个技巧， 其一借助 1 作桥梁， 如例 2 中的(2) ． 其二构造一个新的幂作桥梁， 这个新的幂具有与 4. 54. 1同底与 3. 73. 6同指数的特点， 即为 4. 53. 6(或3. 74. 1) ， 如例 2 中的(3) ．

　练习：

　（1）

　1. 72. 5

　 与

　1. 73

　 ( 2 )0.10.8与0.20.8

　( 3 )

　 1. 70. 3

　与

　 0. 93. 1

　 （４ ）5 . 31 . 2和7 . 20 . 2 【例4】解比较大小与＞ 且 ≠ ，(a0＞．当 ＜ ＜ ， ∵ ＞ ，0a1＞ ，aaaaan n(nnnnnnnnn n(11111111a1n1)n10)) ∴＜ ， ∴1＜当 ＞ 时， ∵ ＞ ，a1＞ ，∴＞ ，＞aaan n(aaan n(nnnnn n(nnnn1111111111)))n101 【例 5】

　作出下列函数的图像：

　11x(1)y(2)y22x＝＝－ ，( )2 (3) y＝2| x-1|

　 (4) y＝| 1－3x|

　 解

　(1)y(264)(0)(11)y1＝的图像 如图 ．－， 过点，及 － ，．是把函数 ＝的图像向左平移 个单位得到的．( )212( )1121xx 解

　(2) y＝2x－2 的图像(如图 2． 6－5) 是把函数 y＝2x的图像向下平移 2 个单位得到的．

　 解

　(3) 利用翻折变换， 先作 y＝2| x|的图像， 再把 y＝2| x|的图像向右平移 1个单位， 就得 y＝2| x-1|的图像(如图 2． 6－6) ．

　解

　(4) 作函数 y＝3x的图像关于 x 轴的对称图像得 y＝－3x的图像， 再把 y

　＝－3x的图像向上平移 1 个单位， 保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变， 把 x 轴下方的图像以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到． (如图 2． 6－7)

　【例8】

　已知＝＞f(x)(a1)aaxx11 (1) 判断 f(x) 的奇偶性；

　(2) 求 f(x) 的值域； (3)证明 f(x) 在区间(－∞， ＋∞) 上是增函数．

　 解

　(1) 定义域是 R．

　f(x)f(x)－＝＝－，aaaaxxxx 1111 ∴函数 f(x) 为奇函数．

　(2)yy 1a1y 1x函数 ＝， ∵ ≠ ， ∴有 ＝＞－ ＜ ＜ ，aayyyyxx 1111110 即 f(x) 的值域为(－1， 1) ．

　(3) 设任意取两个值 x1、 x2∈(－∞， ＋∞) 且 x1＜x2． f(x1) －f(x2)

　＝＝， ∵ ＞ ，a＜，＜，＋＋＞ ， ∴0＜， 故在 上为增函数．Raaaaaaxaaaaaaxlxlxxxlxxlxxxx112121221212211()()()1xx(1)(1)f(x )f(x )f(x)1212 单元测试题 一、 选择题：

　（本题共 12 小题， 每小题 5 分， 共 60 分）

　1、 化简1118141232161212121212， 结果是（

　 ）

　A、11321122

　 B、113212

　 C、13212

　D、1321122 2、44366399aa   等于（

　 ）

　A、16a

　 B、8a

　C、4a

　D、2a

　3、 若1,0ab, 且2 2bbaa, 则bbaa的值等于（

　）

　A、6

　B、2

　 C、2

　 D、 2 4、 函数2( )f x1xa在 R 上是减函数， 则 a 的取值范围是（

　）

　A、1a

　 B、2a

　C、2a 

　D、 12a 5、 下列函数式中， 满足1(1)( )f x2f x的是(

　 )

　A、

　1(1)2x

　B、14x

　C、 2x

　 D、 2x 6、 下列2( )f x(1)xxaa是（

　 ）

　A、 奇函数

　B、 偶函数

　 C、 非奇非偶函数

　 D、 既奇且偶函数 7、 已知,0ab ab， 下列不等式（1）22ab； (2) 22ab； (3)ba11； (4)1313ab；(5)1133ab    中恒成立的有（

　 ）

　A、 1 个

　 B、 2 个

　 C、 3 个

　 D、 4 个 8、 函数2121xxy是（

　 ）

　A、 奇函数

　B、 偶函数

　 C、 既奇又偶函数

　 D、 非奇非偶函数 1xy 9、 函数21的值域是（

　 ）

　A、 ,1

　B、  ,00,

　C、 1, 

　D、(, 1)0,  10、 已知01,1ab  , 则函数xyab的图像必定不经过（

　 ）

　A、 第一象限

　B、 第二象限

　 C、 第三象限

　 D、 第四象限 11、2( )1( )(f x x0)21xF x是偶函数， 且 ( )f x 不恒等于零， 则( )f x (

　)

　A、 是奇函数

　B、 可能是奇函数， 也可能是偶函数 C、 是偶函数

　D、 不是奇函数， 也不是偶函数 12、 一批设备价值a 万元， 由于使用磨损， 每年比上一年价值降低 %的价值为（

　 ）

　b， 则 n 年后这批设备A、(1%)nab

　 B、(1%)anb

　C、[1 ( %) ]bna

　D、(1%)nab 二、 填空题：

　（本题共 4 小题， 每小题 4 分， 共 16 分， 请把答案填写在答题纸上）

　13、 若103,104xy， 则10x y

　。

　14、 函数228113( 31)xxyx  ≤≤的值域是

　 。

　15、 函数22 33xy的单调递减区间是

　 。

　16、 若21(5)2xfx， 则(125)f

　。

　三、 解答题：

　（本题共 6 小题， 共 74 分， 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. ）

　17、 设01a ， 解关于 x 的不等式22232223xxxxaa。

　18、 已知3,2x ， 求11( )f x 142xx 的最小值与最大值。

　 19、 设aR，22( )f x()21xxaaxR ， 试确定 a 的值， 使 ( )f x 为奇函数。

　 20、 已知函数22513xxy  ， 求其单调区间及值域。

　21、 若函数43 23xxy 的值域为1,7 ， 试确定 x 的取值范围。

　22、 已知函数1( )f x(1)1xxaaa (1) 判断函数的奇偶性；

　(2) 求该函数的值域； (3) 证明( )f x 是 R 上的增函数。

　指数与指数函数同步练习参考答案 一、

　题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D D B C A D A A D 二、 13、43

　14、991,33  ， 令222812(2)9Uxxx   ， ∵ 31,99xU ≤≤≤≤,又∵13Uy  为减函数， ∴99133y  ≤≤。

　15、 0, ， 令23 ,2 3UyUx，

　∵3Uy 为增函数， ∴22 33xy的单调递减区间为0, 。

　16、

　0，32 2 1 (125)(5 )(5)2 2 0fff 三、 17、 ∵ 01a , ∴

　xya在 ,  上为减函数， ∵

　22232223xxxxaa,

　∴222322231xxxxx 

　18、221113( )f x142122124224xxxxxxx   ,

　 ∵3,2x ,

　∴1284x≤≤.

　则当122x, 即1x  时,( )f x 有最小值43； 当 28x, 即3x   时，( )f x 有最大值 57。

　19、 要使 ( )f x 为奇函数， ∵ xR, ∴需( )f x()0fx,

　 ∴122x2x( )f x, (f)212121xxaxaa, 由122x02121xxaa , 得2(21)2021xxa,1a 。

　20、 令13Uy  ,225Uxx ， 则 y 是关于U 的减函数， 而U 是, 1 上的减函数，1,  上的增函数， ∴22513xxy  在, 1 上是增函数， 而在1,  上是减函数， 又∵2225(1)44Uxxx  ≥,

　∴22513xxy  的值域为410,3   。

　21、243 2 323 2 3xxxxy   ， 依题意有 22(2 )3 2  37(2 )3 231xxxx≤≥即1242221xxx或≤≤≥≤， ∴ 224021,xx或≤≤≤ 由函数2xy 的单调性可得(,0][1,2]x 。

　22、（1）

　∵定义域为 xR, 且11()( ),f x( )f x11xxxxaafxaa 是奇函数；

　（2）1222( )f x1,11,02,111xxxxxaaaaa    ∵即( )f x 的值域为1,1；

　（3）

　设12,x xR, 且12xx，

　1212121212112x2( )f x()011(1)(1)xxxxxxxaaaaf xaaaa(∵分母大于零， 且12xxaa)

　 ∴( )f x 是 R 上的增函数。

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