2023年向量证明重心方法3篇

向量证明重心的方法1　　三角形ABC中，重心为O，AD是BC边上的中线，用向量法证明AO=2OD　　(1).AB=12b，AC=12c。AD是中线则AB+AC=2AD即12b+12c=2AD，AD=下面是小编为大家整理的2023年向量证明重心方法3篇,供大家参考。

向量证明重心的方法1

　　三角形ABC中，重心为O，AD是BC边上的中线，用向量法证明AO=2OD

　　(1).AB=12b，AC=12c。AD是中线则AB+AC=2AD即12b+12c=2AD，AD=6b+6c;BD=6c-6b。OD=xAD=6xb+6xx。(2).E是AC中点。作DF//BE则EF=EC/2=AC/4=3c。*行线分线段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).OD=2b+2c，AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD。

　　设BC中点为M∵PA+PB+PC=0∴PA+2PM=0∴PA=2MP∴P为三角形ABC的重心。上来步步可逆、∴P是三角形ABC重心的充要条件是PA+PB+PC=0

　　如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1

　　设三角形ABC的`三条中线分别为AD、BE、CF，求证AD、BE、CF交于一点O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1

　　证明：用归一法

　　不妨设AD与BE交于点O，向量BA=a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b

　　因为BE是中线，所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线，故设BO=xBE=(x/2)(a+b)

　　同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b

　　在三角形ABO中，AO=BO-BA

　　所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b

　　因为向量a和b线性无关，所以

　　-y=x/2-1

　　y/2=x/2

　　解得x=y=2/3

　　所以A0：AD=BO：BE=2：3

　　故AO：OD=BO：OE=2:1

向量证明重心的方法2

　　设AD与CF交于O",同理有AO’：O"D=CO":O"F=2:1

　　所以有AO:OD=AO":O"D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’

　　因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1

　　设三角形ABC的顶点A,B,C的坐标分别为(X1,Y1),(X2,Y2)，(X3,Y3)证明：三角形ABC的重心(即三条中线的交点)M的坐标(X,Y)满足：X=X1+X2+X3/3 Y=Y1+Y2+Y3/3\

　　设:AB的中点为D.∴Dx=(x1+x2)/2，又M为三角形的重心,∴CD=3MD,∴x3-(x1+x2)/2=3[x-(x1+x2)/2]===>x=(x1+x2+x3)/3同理: y=(y1+y2+y3)/3

　　如图。设AB=a(向量)，AC=b, AD=(a+b)/2,AO=tAB=ta/2+tb/2.

　　BE=b/2-a. AO=a+sBE=(1-s)a+sb/2.

　　t/2=1-s, t/2=s/2.消去s.t=2/3.AO=(2/3)AB.OD=(1/3)AB,AO=2OD.

　　如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1

　　设三角形ABC的三条中线分别为AD、BE、CF，求证AD、BE、CF交于一点O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1

向量证明重心的方法3篇扩展阅读

向量证明重心的方法3篇（扩展1）

——向量积分配律的证明例子3篇

向量积分配律的证明例子1

　　三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。

　　下面把向量外积定义为：

　　a × b = |a|·|b|·Sin.

　　分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

　　下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

　　1)外积的反对称性：

　　a × b = - b × a.

　　这由外积的定义是显然的。

　　2)内积(即数积、点积)的分配律：

　　a·(b + c) = a·b + a·c,

　　(a + b)·c = a·c + b·c.　　这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。

　　3)混合积的性质：

　　定义(a×b)·c为矢量a, b, c的混合积，容易证明：

　　i) (a×b)·c的.绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的*行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。

　　从而就推出：

　　ii) (a×b)·c = a·(b×c)

　　所以我们可以记a, b, c的混合积为(a, b, c).

　　由i)还可以推出：

　　iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)

　　我们还有下面的一条显然的结论：

　　iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3，则a必为零矢量。

　　下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。

　　设r为空间任意矢量，在r·(a×(b + c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有

　　r·(a×(b + c))

　　= (r×a)·(b + c)

　　= (r×a)·b + (r×a)·c

　　= r·(a×b) + r·(a×c)

　　= r·(a×b + a×c)

　　移项，再利用数积分配律，得

　　r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0

　　这说明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即

　　a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0

　　所以有

　　a×(b + c) = a×b + a×c.

　　证毕。

　　三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。

　　下面把向量外积定义为：

　　a × b = |a|·|b|·Sin.

　　分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

向量积分配律的证明例子2

　　下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

　　1)外积的反对称性：

　　a × b = - b × a.

　　这由外积的定义是显然的。

　　2)内积(即数积、点积)的分配律：

　　a·(b + c) = a·b + a·c,

　　(a + b)·c = a·c + b·c.

　　这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。

　　3)混合积的性质：

　　定义(a×b)·c为矢量a, b, c的混合积，容易证明：

　　i) (a×b)·c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的*行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。

　　从而就推出：

　　ii) (a×b)·c = a·(b×c)

　　所以我们可以记a, b, c的混合积为(a, b, c).

　　由i)还可以推出：

　　iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)

向量证明重心的方法3篇（扩展2）

——向量法证明正弦定理3篇

向量法证明正弦定理1

　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

　　任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

　　作直径BD交⊙O于D. 连接DA.

　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

　　所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

向量法证明正弦定理2

　　如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C

　　由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出)

　　在向量等式两边同乘向量j,得·

　　j·AC+CB=j·AB

　　∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

　　=│j││AB│cos(90°-A)

　　∴asinC=csinA

　　∴a/sinA=c/sinC

　　同理，过点C作与向量CB垂直的"单位向量j，可得

　　c/sinC=b/sinB

　　∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

　　记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

　　∴a+b+c=0

　　则i(a+b+c)

　　=i·a+i·b+i·c

　　=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

　　=-asinC+csinA=0

向量证明重心的方法3篇（扩展3）

——高中数学用向量如何证明四点共面 (菁选3篇)

高中数学用向量如何证明四点共面1

　　由n+m+t=1 , 得 t=1-n-m ,代入op=nox+ moy +toz， 得 OP=n OX +mOY +(1-n-m)OZ, 整理，得OP-OZ =n(OX-OZ) +m(OY-OZ)

　　即ZP =nZX +mZY

　　即P、X、Y、Z 四点共面。

　　以上是充要条件。

高中数学用向量如何证明四点共面2

　　如和通过四点外的`一点(空间中)与四点之间的关系来判断折四点共面。

　　A,B,C,D,4个点,与另外一点O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四点就共面3设一向量的坐标为(x,y,z)。另外一向量的坐标为(a,b,c)。 如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常数，则两向量*行 如果ax+by+cz=0，则两向量垂直。答案补充 三点一定共面,证第四点在该*面内 用向量,另取一点O 如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD，且a+b+c=1 则有四点共面 答案补充 方法已经很详细了呀。4线*行线: 两条线的方向向量矢量积为0，且两条线没交点。

　　面*行线：是线*行面吧，线的方向向量和*面法向量垂直，即线的方向向量和*面法向量数量积为0 ，且线不在*面内。

　　三点共面：三点肯定是共面的，我猜你说的是三点共线吧，比如ABC三点，证明共线，证明AB与BC的方向向量矢量积为0。

　　四点共面：比如ABCD三点证明AB,AC,AD三者满足先求AB,AC的矢量积a，再a和AD数量积为0。

高中数学用向量如何证明四点共面3

　　怎样证明空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC且x+y+z=1，则P，A，B，C四点共面

　　简明地证明（网上的不具体，不要复制！）

　　证明：由x+y+z=1→x向量OC + y向量OC + z向量OC=向量OC，且：x向量OA+y向量OB+z向量OC=向量OP

　　将上边两式相减得：向量OP-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量OC)

　　即：向量CP=x向量CA+y向量CB

　　由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在*面ABC内→P点必在*面ABC内。

　　故：A，B，C，P四点共面。

向量证明重心的方法3篇（扩展4）

——与公司存在劳动关系的证明方法3篇

与公司存在劳动关系的证明方法1

　　用人单位招用劳动者未订立书面劳动合同，但同时具备下列情形的，劳动关系成立。

　　(一)用人单位和劳动者符合法律、法规规定的主体资格;

　　(二)用人单位依法制定的各项劳动规章制度适用于劳动者，劳动者受用人单位的劳动管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动;

　　(三)劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分。

　　二、用人单位未与劳动者签订劳动合同，认定双方存在劳动关系时可参照下列凭证：

　　(一)工资支付凭证或记录(职工工资发放花名册)、缴纳各项社会保险费的记录;

　　(二)用人单位向劳动者发放的“工作证”、“服务证”等能够证明身份的证件;

　　(三)劳动者填写的用人单位招工招聘“登记表”、“报名表”等招用记录;

　　(四)考勤记录;

　　(五)其他劳动者的证言等。

与公司存在劳动关系的证明方法2

　　1、工资卡、工资存折、工资条或其它工资发放记录(最好有单位盖章确认)、职工花名册;

　　2、用人单位为劳动者缴纳的各项社会保险费的记录;

　　3、用人单位向劳动者发放的“工作证”、“服务证”、“上岗证”、“外派证”等能够证明职务职位身份的证件;

　　4、劳动者填写的用人单位招工招聘“登记表”、“报名表”等招用记录;

　　5、用人单位的考勤记录(考勤表、出勤卡等);

　　6、其他劳动者的证言;

　　7、其它能够证明劳动者与用人单位存在事实劳动关系的证据。

　　(1)、载有劳动者名字的用人单位的各种文件

　　用人单位下发的各种文件，类似各种通知、工作任务单、任命通知书、介绍信、签到表等书面资料中，只要其中含有劳动者本人的名字，一般都可以证明劳动者与用人单位存在劳动关系的事实。但是，此类证据必须上有用人单位的公章才有证明证明效力。

　　(2)、劳动者代表用人单位与其它实体或个人签订的合同

　　在用人单位与其它实体或个人签订合同特别是经济事务的合同时，一般都会有“签约代表”或“代表人”一栏，此时，如果劳动者作为用人单位的代表在合同上签字，该合同又有用人单位所盖公章的话，那么可推定双方存在劳动关系。

　　(3)、与用人单位有业务往来的其它单位留存的相关资料

　　与用人单位有业务往来的其它单位若能出具有关劳动者曾代表用人单位洽谈业务方面的证明，也可以证明劳动者曾为用人单位提供过劳动。

向量证明重心的方法3篇（扩展5）

——均值不等式证明的推导方法3篇

均值不等式证明的推导方法1

　　已知x,y为正实数，且x+y=1 求证

　　xy+1/xy≥17/4

　　1=x+y≥2√(xy)

　　得xy≤1/4

　　而xy+1/xy≥2

　　当且仅当xy=1/xy时取等

　　也就是xy=1时

　　画出xy+1/xy图像得

　　01时，单调增

　　而xy≤1/4

　　∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4

　　得证

　　继续追问：

　　拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证

　　补充回答：

　　我真不明白我上面的`方法为什么不是用均值不等式证的

均值不等式证明的推导方法2

　　证xy+1/xy≥17/4

　　即证4(xy)²-17xy+4≥0

　　即证(4xy-1)(xy-4)≥0

　　即证xy≥4，xy≤1/4

　　而x,y∈R+，x+y=1

　　显然xy≥4不可能成立

　　∵1=x+y≥2√(xy)

　　∴xy≤1/4，得证

　　∵同理0

　　xy+1/xy-17/4

　　=(4x²y²-4-17xy)/4xy

　　=(1-4xy)(4-xy)/4xy

　　≥0

　　∴xy+1/xy≥17/4

向量证明重心的方法3篇（扩展6）

——高中生如何用向量证明线面*行 (菁选2篇)

高中生如何用向量证明线面*行1

　　下面垂直就是说直线是面的法向量。单位法向量当然*行这条直线，不过要排除与0向量的讨论。0向量与任何向量都*行。但0向量不垂直与面。

　　比如单位法向量是(x,y,z)直线的方向向量是m=(a,b,c)

　　那么m=a(x,y,z) 这不完全对。

　　比如单位法向量是(0,1,0)，难道m=0吗?

　　只能是a≠0是可以这样。

　　面面*行：可以证明两个*面的法向量*行。

　　不过不一定是单位法向量，单位法向量是模等于1的法向量，其实只需证明两*面的法向量垂直就可以了。

　　当然你要证明分别*行于两*面的直线*行，

　　或*行一*面的.直线与另一*面的法向量垂直也未尝不可。

高中生如何用向量证明线面*行2

　　三维空间上一*面上一活动点钟(x,y, z) 而(m,n,p )是在原点与*面的垂线的交点, 我们得

　　[(x,y,z) - (m,n,p) ] * (m,n,p) = 0

　　m(x-m)+n(y-n)+p(z-p)=0

　　mx+ny+pz=m^2+n^2+p^2

　　所以 ax+by+cz=d 中的a=m, b= n, c=p , d=m^2+n^2+p^2= 原点与*面的垂直距离

　　x+y+z=1是一个面它垂直和相交(1,1,1) 这支向量

　　[1,8,-3]×[4,-5,9]≠[0,0,0]

　　所以两直线的方向向量不*行

　　即两直线不*行

　　但是书后的答案说两直线是*行的。。。

　　你确定题没有写错吗?

　　其实直线很简单

　　[x,y,z]=[4,-3,2]+ t[1,8,-3]

　　表示通过点[4,-3,2]，沿着方向[1,8,-3]延伸

　　而[1,8,-3]跟[4,-5,9]方向不一样，两直线不*行

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